Тухсатăрансен таблици

Тухсатăрансен таблици — чи ансат элементарлă функцисен тухсатăранĕсене йĕркепĕрĕн палăртса тухни. ("Тухсатăран" тенине çавăн пекех тăхăм, функцин тăхăмĕ теме пулать).

Кăтартакан формулăсенче $f$ тата $g$ — чăн аргументлă тата дифференциленекен (тухсатăранне тупма май пур) хуть те мĕнле функцисем, $c$ — чăн константа. Ку формулăсем хуть те мĕнле элементарлă функцин тухсатăранне те тупса палăртма май параççĕ.

${d \over dx}c=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}cx=c$

Кĕскен ăнлантарни: $(cx)'=cx'=c$

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1},$ енчен те $x^{c}$ тата $cx^{c-1}$ палăртăннă пулсан, $c\neq 0$

Кĕскен ăнлантарни:

$(x+h)^{c}=x^{c}+(x^{c})'h+o(h)$

$(x+h)^{c}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)$

$\sum _{k=0}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)$

$x^{c}+cx^{c-1}h+\sum _{k=2}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}-x^{c}=(x^{c})'h+o(h)$

$cx^{c-1}h+\sum _{k=2}^{c}{c \choose k}x^{c-k}h^{k}=(x^{c})'h+o(h)$

$cx^{c-1}h+o(h)=(x^{c})'h+o(h)$

$\lim _{h\rightarrow 0}(cx^{c-1}+{\frac {o(h)}{h}})=\lim _{h\rightarrow 0}((x^{c})'+{\frac {o(h)}{h}})$

$cx^{c-1}=(x^{c})'$

${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

Кĕскен ăнлантарни:

$|x|={\sqrt {x^{2}}}$ , çавна кура çапла тейĕпĕр: $g(x)=x^{2},\quad h(x)={\sqrt {x}}$ тата $f(x)=h(g(x))={\sqrt {x^{2}}}=|x|$

Вара $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}}}}}\cdot 2x={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}={\frac {x}{|x|}}$

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

${d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

${d \over dx}{\sqrt[{n}]{x}}={d \over dx}x^{1 \over n}={1 \over n}x^{1-n \over n}={\frac {1}{n\cdot {\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

Кĕскен ăнлантарни: ${d \over dx}c^{x}={d \over dx}e^{x\ln c}=e^{x\ln c}\ln c=c^{x}\ln c$

${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

${d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}$

${d \over dx}\ln x={1 \over x}$
${d \over dx}\log _{a}x={\frac {\log _{a}e}{x}}={\frac {1}{x\ln a}}$

Кĕскен ăнлантарни:

$log_{a}(x+h)=log_{a}x+(log_{a}x)'h+o(h)$

$log_{a}(x+h)-log_{a}x=(log_{a}x)'h+o(h)$

$log_{a}(1+{\frac {h}{x}})=(log_{a}x)'h+o(h)$

$log_{a}e{\frac {h}{x}}=(log_{a}x)'h+o(h)$

${\frac {d}{dx}}\log _{a}f(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln f(x)}{\ln(a)}}={\frac {f'(x)}{f(x)\ln(a)}}.$

${d \over dx}\sin x=\cos x$

Кĕскен ăнлантарни:

$\sin(x+h)=\sin x+(\sin x)'h+o(h)$

$\sin(x+h)-\sin x=(\sin x)'h+o(h)$

$2\sin {\frac {h}{2}}\cos {\frac {2x+h}{2}}=(\sin x)'h+o(h)$

$2({\frac {h}{2}}+o(h))(\cos x+o(1))=(\sin x)'h+o(h)$

$(\cos x)h+o(h)=(\sin x)'h+o(h)$

$\cos x=\sin 'x$