Умсăнарсен таблици

Кĕскен ăнлантарни: Улăштару тăватпăр: ${\displaystyle x=a\operatorname {tg} t}$, вара

${\displaystyle \int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operatorname {tg} t) \over a^{2}+(a\operatorname {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a}+C={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C.}$

Кĕскен ăнлантарни:

Калăпăр ${\displaystyle a<0}$, малалла çавăн пекех ${\displaystyle x\geq 0}$ тесе шутлăпăр. Гиперболăлла функцисемпе усă курса улăштару кĕртĕпĕр: ${\displaystyle x={\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t,t\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}t-1}}\operatorname {sh} tdt\\&=-a\int \operatorname {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatorname {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\left({\operatorname {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t-t)+C_{1}\end{aligned}}}$

Анчах

${\displaystyle \operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},}$ ${\displaystyle \operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x{{\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},}$ ${\displaystyle e^{t}=\operatorname {sh} t+\operatorname {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.}$

Çавăнпа

${\displaystyle t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.}$

Çапла вара, юлашки вакăн айĕн логарифмне С константа шутне кĕртсеН, куратпăр

${\displaystyle \int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C}$

Енчен те ${\displaystyle x<0}$, вара ${\displaystyle x=-t,t>0}$ улăштарса, интеграла пăхса тухни пек тăватпăр. Енчен те ${\displaystyle a>0}$, вара ${\displaystyle x={\sqrt {a}}\operatorname {sh} t}$ улăштарса, унчченхи пек шухăшларăшсем йĕркелесе, унчченхи патнех пырса тухатпăр^[1].

Кĕскен ăнлантарни: ${\displaystyle \int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}dx=-\int {\frac {d(\cos x)}{\cos x}}=-\ln |\cos x|+C}$

Кĕскен ăнлантарни: ${\displaystyle \int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}dx=\int {\frac {d(\sin x)}{\sin x}}=\ln |\sin x|+C}$

Кĕскен ăнлантарни: ${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} \,x+C}$ формулăна ĕнентерни:

${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operatorname {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2}x}dx=\int {d(\operatorname {sh} x) \over 1+\operatorname {sh} ^{2}x}=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} x+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C}$ формулăна ĕнентерни: ${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x}}=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C}$.

${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C}$ формулăна ĕнентерни:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^{2}{x \over 2}+\operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}(1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operatorname {th} {x \over 2}) \over 1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}$